Lección 18 — Ejercicios de Sistema Binario: Representa y Transforma Información Digital
Los ejercicios de sistema binario te permiten llevar a la práctica uno de los conocimientos fundamentales de la informática: cómo las computadoras representan y transforman información mediante ceros y unos.
En las lecciones anteriores aprendiste qué son los bits y los bytes, cómo funcionan los sistemas de numeración, cómo se realizan conversiones entre bases numéricas y cómo se codifican textos, imágenes y sonidos. Ahora es momento de relacionar esos conocimientos mediante actividades prácticas.
No necesitas experiencia en programación ni conocimientos avanzados de matemáticas. Resolverás ejercicios paso a paso, comprobarás resultados y descubrirás cómo se aplican estas operaciones en situaciones relacionadas con la tecnología.
El objetivo de esta lección no es memorizar procedimientos, sino comprenderlos y utilizarlos con seguridad.
¿Qué aprenderás en esta lección?
Al finalizar, serás capaz de:
Identificar los valores posicionales de un número binario.
Convertir números sencillos entre los sistemas binario, decimal y hexadecimal.
Realizar operaciones básicas con números binarios.
Interpretar cantidades expresadas en bits y bytes.
Representar caracteres mediante códigos binarios.
Reconocer cómo se utilizan los bits para representar colores.
Resolver situaciones prácticas relacionadas con la información digital.
Comprobar tus resultados e identificar errores frecuentes.
Antes de comenzar: recuerda los conceptos esenciales
Para resolver los ejercicios, repasemos brevemente cuatro ideas fundamentales.
El sistema binario utiliza dos dígitos
El sistema binario es un sistema de numeración de base 2.
Utiliza únicamente los dígitos:
0 y 1
Cada posición de un número binario representa una potencia de 2.
Por ejemplo:
| Posición | Potencia | Valor decimal |
|---|---|---|
| Primera, desde la derecha | 2⁰ | 1 |
| Segunda | 2¹ | 2 |
| Tercera | 2² | 4 |
| Cuarta | 2³ | 8 |
| Quinta | 2⁴ | 16 |
| Sexta | 2⁵ | 32 |
| Séptima | 2⁶ | 64 |
| Octava | 2⁷ | 128 |
Recuerda: las posiciones se cuentan de derecha a izquierda, comenzando con la potencia cero.
Un bit y un byte no son lo mismo
Un bit representa un valor binario: 0 o 1.
Un byte está formado por ocho bits.
Por tanto:
1 byte = 8 bits
Un grupo de ocho bits puede representar 256 combinaciones diferentes.
El sistema hexadecimal utiliza 16 símbolos
El sistema hexadecimal es de base 16.
Utiliza los dígitos del 0 al 9 y las letras de la A a la F.
| Hexadecimal | Decimal |
|---|---|
| A | 10 |
| B | 11 |
| C | 12 |
| D | 13 |
| E | 14 |
| F | 15 |
Cada dígito hexadecimal equivale exactamente a cuatro bits.
Los datos pueden representarse de diferentes maneras
Un mismo valor puede expresarse en distintas bases.
Por ejemplo:
Decimal: 10
Binario: 1010
Hexadecimal: A
Son tres representaciones del mismo valor numérico.
Ejercicio práctico: identifica el valor de cada bit
Objetivo
Comprender cómo las posiciones binarias determinan el valor de un número.
Observa el número:
101101₂
El subíndice 2 indica que está expresado en base binaria.
Desarrollo paso a paso
Asignamos a cada posición su potencia de 2.
| Dígito binario | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Valor posicional | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Aportación | 32 | 0 | 8 | 4 | 0 | 1 |
Sumamos las posiciones que contienen un 1:
32 + 8 + 4 + 1 = 45
Por tanto:
101101₂ = 45₁₀
Ahora inténtalo
Calcula el valor decimal de:
1010₂
1101₂
10011₂
Comprueba tus respuestas
1010₂ = 10₁₀
1101₂ = 13₁₀
10011₂ = 19₁₀
Consejo: si obtienes un resultado diferente, revisa que hayas comenzado con 2⁰ en el extremo derecho.
Ejercicio práctico: convierte números decimales a binarios
Objetivo
Aplicar el método de divisiones sucesivas entre 2.
Convertiremos el número decimal 25 a binario.
Desarrollo paso a paso
Dividimos sucesivamente entre 2 y anotamos los residuos.
| División | Cociente | Residuo |
|---|---|---|
| 25 ÷ 2 | 12 | 1 |
| 12 ÷ 2 | 6 | 0 |
| 6 ÷ 2 | 3 | 0 |
| 3 ÷ 2 | 1 | 1 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Leemos los residuos de abajo hacia arriba:
11001
Por tanto:
25₁₀ = 11001₂
Verificación
Comprobamos mediante potencias de 2:
16 + 8 + 1 = 25
El resultado es correcto.
Ahora inténtalo
Convierte a binario:
12₁₀
18₁₀
31₁₀
Comprueba tus respuestas
12₁₀ = 1100₂
18₁₀ = 10010₂
31₁₀ = 11111₂
Recuerda: el orden de lectura de los residuos es fundamental.
Ejercicio práctico: transforma números binarios a hexadecimales
Objetivo
Aprender a agrupar bits para obtener una representación hexadecimal.
Convertiremos:
11010110₂
Desarrollo paso a paso
Separamos los bits en grupos de cuatro, comenzando por la derecha.
1101 0110
Convertimos cada grupo.
| Grupo binario | Valor decimal | Dígito hexadecimal |
|---|---|---|
| 1101 | 13 | D |
| 0110 | 6 | 6 |
Unimos los dígitos:
11010110₂ = D6₁₆
Verificación
En decimal:
D6₁₆ = (13 × 16) + 6 = 214
Y el número binario también representa:
128 + 64 + 16 + 4 + 2 = 214
Ambas representaciones coinciden.
Ahora inténtalo
Convierte a hexadecimal:
10101111₂
11110000₂
10011010₂
Comprueba tus respuestas
10101111₂ = AF₁₆
11110000₂ = F0₁₆
10011010₂ = 9A₁₆
Consejo: cuando el número de bits no sea múltiplo de cuatro, agrega ceros a la izquierda hasta completar el primer grupo.
Ejercicio práctico: realiza una suma binaria
Objetivo
Comprender cómo se suman números utilizando únicamente 0 y 1.
Las reglas básicas son:
| Operación | Resultado |
|---|---|
| 0 + 0 | 0 |
| 0 + 1 | 1 |
| 1 + 0 | 1 |
| 1 + 1 | 10 |
Importante: el resultado 10₂ representa el valor decimal 2. Por eso, al sumar 1 + 1 escribimos 0 en la columna y llevamos 1 a la siguiente.
Ejemplo resuelto
Sumaremos:
1011₂ + 0110₂
Colocamos los números alineados por la derecha:
1011
+ 0110
------
10001Realizamos las operaciones de derecha a izquierda.
Primera columna: 1 + 0 = 1.
Segunda columna: 1 + 1 = 10₂. Escribimos 0 y llevamos 1.
Tercera columna: 0 + 1 + 1 que llevamos = 10₂. Escribimos 0 y llevamos 1.
Cuarta columna: 1 + 0 + 1 que llevamos = 10₂. Escribimos 0 y llevamos 1.
Finalmente, escribimos el 1 que quedó pendiente.
Resultado: 10001₂
Verificación decimal
1011₂ = 11₁₀
0110₂ = 6₁₀
11 + 6 = 17
10001₂ = 17₁₀
La suma es correcta.
Ahora inténtalo
Resuelve:
101₂ + 11₂
1100₂ + 10₂
111₂ + 1₂
Comprueba tus respuestas
101₂ + 11₂ = 1000₂
1100₂ + 10₂ = 1110₂
111₂ + 1₂ = 1000₂
Ejercicio práctico: realiza una resta binaria
Objetivo
Aplicar las reglas de resta y comprender el préstamo entre posiciones binarias.
Las reglas básicas son:
| Operación | Resultado |
|---|---|
| 0 − 0 | 0 |
| 1 − 0 | 1 |
| 1 − 1 | 0 |
| 0 − 1 | Requiere préstamo |
Cuando necesitamos restar 1 de 0, tomamos prestada una unidad de la siguiente posición binaria.
Esa unidad equivale a 10₂, es decir, 2 en decimal.
Ejemplo resuelto
Restaremos:
1101₂ − 0101₂
1101
- 0101
------
1000Realizamos la operación por columnas, de derecha a izquierda:
Primera columna: 1 − 1 = 0.
Segunda columna: 0 − 0 = 0.
Tercera columna: 1 − 1 = 0.
Cuarta columna: 1 − 0 = 1.
Resultado: 1000₂
Verificación decimal
1101₂ = 13₁₀
0101₂ = 5₁₀
13 − 5 = 8
1000₂ = 8₁₀
El resultado es correcto.
Ahora inténtalo
Resuelve:
1010₂ − 0011₂
1111₂ − 0101₂
1000₂ − 0001₂
Comprueba tus respuestas
1010₂ − 0011₂ = 0111₂
1111₂ − 0101₂ = 1010₂
1000₂ − 0001₂ = 0111₂
Observación: en los ejercicios que requieren préstamos, puedes comprobar el procedimiento convirtiendo temporalmente los números a decimal.
Ejercicio práctico: convierte bits y bytes
Objetivo
Relacionar la representación binaria con las unidades básicas de información.
Recuerda:
1 byte = 8 bits
Ejemplo resuelto
¿Cuántos bits contienen 12 bytes?
Multiplicamos:
12 × 8 = 96 bits
Por tanto:
12 bytes = 96 bits
Ahora realizamos la operación inversa.
¿Cuántos bytes representan 64 bits?
Dividimos:
64 ÷ 8 = 8 bytes
Ahora inténtalo
Calcula:
¿Cuántos bits contienen 5 bytes?
¿Cuántos bytes representan 128 bits?
¿Cuántos bits contienen 20 bytes?
¿Cuántos bytes representan 256 bits?
Comprueba tus respuestas
5 bytes = 40 bits.
128 bits = 16 bytes.
20 bytes = 160 bits.
256 bits = 32 bytes.
Aplicación tecnológica
Las unidades de información permiten describir capacidades de almacenamiento, tamaños de archivos y cantidades de datos.
En aplicaciones reales también encontrarás kilobytes, megabytes y gigabytes, así como unidades binarias como kibibytes y mebibytes.
Distinguir estas unidades ayuda a interpretar correctamente las especificaciones de los dispositivos.
Ejercicio práctico: representa texto mediante códigos binarios
Objetivo
Relacionar los caracteres con sus representaciones numéricas.
En la lección anterior aprendiste que los caracteres pueden representarse mediante códigos como ASCII y codificaciones como UTF-8.
Para este ejercicio utilizaremos caracteres incluidos en ASCII.
Ejemplo resuelto
Representaremos la palabra:
PC
Consultamos los códigos ASCII.
| Carácter | Decimal | Binario en 8 bits |
|---|---|---|
| P | 80 | 01010000 |
| C | 67 | 01000011 |
Por tanto, la palabra PC puede representarse en UTF-8 mediante los bytes:
01010000 01000011
En este caso, cada carácter ocupa un byte porque pertenece al conjunto ASCII básico.
Ahora inténtalo
Representa la palabra:
TI
Utiliza esta tabla:
| Carácter | Decimal | Binario en 8 bits |
|---|---|---|
| T | 84 | 01010100 |
| I | 73 | 01001001 |
Comprueba tu respuesta
TI = 01010100 01001001
¿Qué demuestra este ejercicio?
Una computadora no necesita almacenar una letra como una figura visual para conservarla.
Puede almacenar un código que permita identificarla.
Después, un programa interpreta el código y utiliza una fuente tipográfica para mostrar el carácter en pantalla.
Ejercicio práctico: representa colores mediante bits
Objetivo
Comprender cómo se utilizan valores numéricos para representar colores digitales.
En una representación RGB habitual de 24 bits, cada píxel utiliza tres componentes de ocho bits:
R: rojo.
G: verde.
B: azul.
Cada componente puede adoptar valores de 0 a 255.
Ejemplo resuelto
Representaremos un píxel de color azul puro.
Sus valores RGB son:
R = 0, G = 0, B = 255
Convertimos cada componente a ocho bits.
| Componente | Decimal | Binario |
|---|---|---|
| Rojo | 0 | 00000000 |
| Verde | 0 | 00000000 |
| Azul | 255 | 11111111 |
Por tanto, su representación RGB de 24 bits es:
00000000 00000000 11111111
Ahora inténtalo
Representa un píxel amarillo puro.
Sus valores RGB son:
(255, 255, 0)
Comprueba tu respuesta
Rojo: 11111111
Verde: 11111111
Azul: 00000000
Resultado:
11111111 11111111 00000000
Aplicación tecnológica
Los valores RGB se utilizan para representar colores en numerosos sistemas gráficos.
Este ejercicio demuestra cómo un conjunto de bits puede describir información visual, no solamente números o caracteres.
Ejercicio práctico: calcula los datos de una imagen
Objetivo
Relacionar la cantidad de píxeles con el tamaño de una imagen digital sin comprimir.
Supongamos que tenemos una imagen de:
100 × 100 píxeles
Y que cada píxel utiliza:
24 bits de color RGB
Desarrollo paso a paso
Primero calculamos el número de píxeles:
100 × 100 = 10,000 píxeles
Después multiplicamos por los bits de cada píxel:
10,000 × 24 = 240,000 bits
Convertimos a bytes:
240,000 ÷ 8 = 30,000 bytes
Por tanto, los datos de los píxeles ocupan:
30,000 bytes = 30 KB
En este ejemplo utilizamos kilobytes decimales, donde 1 KB equivale a 1,000 bytes.
Importante: el cálculo no incluye encabezados, metadatos, relleno de filas ni compresión. El tamaño real de un archivo depende de su formato y de otros factores.
Ahora inténtalo
Calcula cuántos bytes ocupan los píxeles de una imagen de:
200 × 100 píxeles, con 24 bits por píxel.
Comprueba tu respuesta
Número de píxeles:
200 × 100 = 20,000
Cantidad de bits:
20,000 × 24 = 480,000 bits
Cantidad de bytes:
480,000 ÷ 8 = 60,000 bytes
Resultado: 60,000 bytes, equivalentes a 60 KB decimales.
Ejercicio práctico: calcula muestras de audio digital
Objetivo
Aplicar los conocimientos de representación digital al sonido.
Una grabación de audio digital PCM se compone de muestras numéricas.
La frecuencia de muestreo indica cuántas muestras se registran por segundo y por canal.
Ejemplo resuelto
Supongamos que grabamos una señal durante:
4 segundos
Con una frecuencia de muestreo de:
8,000 Hz
Calculamos:
8,000 × 4 = 32,000 muestras por canal
Si la grabación es mono, tenemos:
32,000 muestras en total
Si fuera estéreo, con dos canales:
32,000 × 2 = 64,000 valores de muestra
Ahora inténtalo
Una grabación mono dura 6 segundos y utiliza una frecuencia de muestreo de 16,000 Hz.
¿Cuántas muestras contiene?
Comprueba tu respuesta
16,000 × 6 = 96,000 muestras
Resultado: 96,000 muestras.
Aplicación tecnológica
El audio digital se utiliza en videollamadas, grabaciones, reproducción musical y numerosas aplicaciones.
La frecuencia de muestreo, la profundidad de bits, los canales y la compresión influyen en la cantidad de datos que necesita una grabación.
Desafío integrador: transforma información digital
Objetivo
Combinar diferentes conocimientos adquiridos a lo largo de las lecciones anteriores.
Imagina que estás desarrollando una pequeña aplicación educativa que debe trabajar con números, textos y colores.
Para completar la actividad, resuelve las siguientes situaciones.
Situación A. Identifica un valor numérico
La aplicación recibe:
00101010₂
Convierte ese número a decimal y hexadecimal.
Solución:
En decimal:
32 + 8 + 2 = 42
En hexadecimal:
0010 1010 = 2A
Por tanto:
00101010₂ = 42₁₀ = 2A₁₆
Situación B. Interpreta un carácter
La aplicación recibe el byte:
01000001
Su valor decimal es:
65
En ASCII, el código 65 corresponde a:
A
Por tanto, si el programa interpreta ese byte como un carácter ASCII, mostrará la letra A.
Situación C. Identifica un color
La aplicación recibe los siguientes valores RGB:
(0, 255, 0)
¿Qué color representan?
Respuesta: verde puro.
Situación D. Calcula información almacenada
La aplicación necesita almacenar 50 valores de un byte cada uno.
¿Cuántos bits ocupan esos valores?
50 × 8 = 400 bits
Resultado: 400 bits, equivalentes a 50 bytes.
Este cálculo considera únicamente los valores y no incluye estructuras adicionales de almacenamiento.
¿Qué tienen en común las cuatro situaciones?
Todas utilizan representaciones digitales.
Sin embargo, el significado de los bits depende del contexto:
En la primera situación representan un número.
En la segunda representan un código de carácter.
En la tercera representan componentes de color.
En la cuarta se utilizan para medir una cantidad de datos.
Esta es una de las ideas más importantes de la informática: los bits adquieren significado cuando conocemos las reglas con las que deben interpretarse.
Cómo comprobar tus ejercicios y aprender de los errores
Resolver ejercicios es importante, pero también lo es saber verificar los resultados.
Convierte de regreso al sistema original
Si conviertes un número decimal a binario, vuelve a convertirlo a decimal.
Si ambos valores coinciden, habrás comprobado la equivalencia.
Revisa los valores posicionales
En binario, las posiciones representan potencias de 2.
En hexadecimal, representan potencias de 16.
Confundir estas bases produce resultados incorrectos.
Comprueba el orden de lectura
En las divisiones sucesivas entre 2, los residuos se leen de abajo hacia arriba.
En las conversiones de binario a hexadecimal, los grupos se forman de derecha a izquierda.
Distingue bits de bytes
Recuerda que ocho bits forman un byte.
Confundir ambas unidades puede provocar errores importantes al calcular cantidades de información.
Identifica qué representan los datos
Una secuencia binaria no indica por sí sola si corresponde a un número, un carácter o un color.
Antes de interpretarla, identifica las reglas de representación utilizadas.
Errores frecuentes al resolver ejercicios de sistema binario
Comenzar las potencias de 2 con el exponente 1
La primera posición desde la derecha corresponde a 2⁰ = 1, no a 2¹.
Leer los residuos de las divisiones en el orden incorrecto
Al convertir de decimal a binario mediante divisiones sucesivas, los residuos deben leerse desde el último hasta el primero.
Agrupar incorrectamente los bits
Para convertir directamente de binario a hexadecimal, utiliza grupos de cuatro bits comenzando por la derecha.
Confundir números binarios con números decimales
El número 10₂ representa el valor decimal 2, no el valor decimal 10.
Olvidar los acarreos en las sumas binarias
Cuando sumas 1 + 1, obtienes 10₂: escribes 0 y llevas 1 a la siguiente posición.
Suponer que todos los caracteres ocupan un byte
En UTF-8, algunos caracteres utilizan varios bytes.
Los ejemplos de esta lección emplean caracteres ASCII básicos para facilitar los ejercicios.
Confundir el tamaño de los datos con el tamaño real de un archivo
Los encabezados, metadatos, estructuras internas y métodos de compresión pueden modificar el tamaño final de un archivo.
Lo que has aprendido
A lo largo de esta lección resolviste ejercicios de sistema binario y aplicaste conceptos fundamentales de los sistemas digitales.
Ahora puedes:
Identificar las potencias de 2 correspondientes a las posiciones binarias.
Convertir números entre binario, decimal y hexadecimal.
Realizar sumas y restas binarias sencillas.
Transformar cantidades entre bits y bytes.
Interpretar códigos de caracteres ASCII.
Representar colores mediante componentes RGB.
Calcular cantidades de datos de imágenes sin comprimir.
Determinar cuántas muestras contiene una grabación digital.
Reconocer que una secuencia de bits puede representar diferentes tipos de información.
Lo más importante es que has pasado de conocer los conceptos a utilizarlos para resolver problemas concretos.
Conclusión
Los ejercicios de sistema binario permiten comprender de manera práctica cómo las computadoras representan, organizan y transforman información.
Al convertir números, realizar operaciones binarias, interpretar caracteres y trabajar con colores e imágenes, comprobaste que los sistemas digitales utilizan reglas precisas para dar significado a los datos.
También descubriste que los conocimientos adquiridos en las lecciones anteriores están relacionados: los bits y bytes, los sistemas numéricos, las operaciones lógicas y la codificación digital forman parte de los fundamentos de la informática.
Dominar estos principios te ayudará a comprender con mayor profundidad el funcionamiento de los sistemas informáticos y a desarrollar nuevas habilidades tecnológicas.
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